Die Geschichte der Mathematik ist vor allem eine Ideengeschichte. Für uns beginnt sie vor 400 Jahren v. Chr. Hauptpersonen sind Plato und Euklid . Euklid hat bereits viele Berechnungen gekannt. Unter anderem hat er als erster die ebene Geometrie axiomatisch dargestellt.

Plato war der Auffassung, dass nur den "Dingen an sich" wirkliche Existenz zukommt. Wir Menschen in unsere Welt sehen nur die Schatten davon.

Wir überspringen 1500 Jahre und wenden uns der Grundlagenkrise der Mathematik zu. Die Hauptpersonen sind Hilbert und Brouwer. Brouwer war Intuitionist. Er war der Meinung, dass die Existenz mathematischer Objekte nicht durch einen indirekten Beweis nachgewiesen werden kann, sondern nur durch explizite Konstruktion. Hilbert war Formalist. Er wollte alle mathematischen Theorien formal durch axiomatische Methoden absichern. Insbesondere wollte er ihre Widerspruchsfreiheit nachweisen. 

Auslöser der Grundlagenkrise war Hilberts Schüler Hermann Weyl. Er hatte Brouwer kennen und schätzen gelernt. In einem teilweise polemischen Aufsatz von 1921 schlug er sich auf Brouwers Seite und machte sich zu seinem Fürsprecher. Zitat: "Brouwer - das ist die Revolution!" 

Hilbert empfand das als persönlichen Angriff und reagierte sehr heftig. Er sprach von einem "Putschversuch".  Der Streit zwischen Hilbert und Brouwer entartete zu einem Krieg; [10] The War of the Frogs and the Mice. 

Hilberts Programm misslang.  Er war der "Fürst der Mathematik", wie ehemals Gauß vor ihm genannt wurde. Die Mehrheit der Mathematiker folgten ihm trotzdem, auch weil sie neue mathematischen Methoden an die Hand bekamen.

Warum war Hilberts Programm nicht von Erfolg gekrönt? Das lag an Kurt Gödel und seinen berühmten "Beweise zur Unvollständigkeit Formaler Systeme". 

Mein Bauchgefühl sagt mir, hier stimmt was nicht. Wie kann man sich "Am eigenen Schopf samt Pferd aus dem Sumpf ziehen" ?

Es gibt aber ein noch viel schlimmeres Problem mit der Logik. Das "Banach Tarski Paradoxon " zeigt, dass es sogar beweisbare Sätze gibt, die Inhaltlich völlig absurd sind. 

Der Beweis des Paradoxons beruht auf dem Auswahlaxiom. Diese Axiom liefert Existensbeweise von mathematischen Objekt, bietet aber keine Möglichkeiten diese Objekte auch zu konstruieren. Unter Mathematikern ist es umstritten. Dieses Axiom und die indirekten Existenzbeweise - die nicht konstruktiv sind - sind meiner Meinung nach besonders problematisch für die Mathematik. 

Die Formale Logik [6], [7], [8], [9]; wurde weiter entwickelt, um die Axiomatik und ihre Beweise klarer aufzubauen. Hier nur soviel: Es kamen vor allem neue Ideen dazu, wie Klassenbegriff, Transfinite Induktion und anderes mehr.